Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH đường phân giác AD. Biết DB/DC = 2/3, tính HB/HC

Đáp án:

\(\dfrac{8}{9}\)

Giải thích các bước giải:

\(AD\) là tia phân giác của góc \(A\) nên :

\(\dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{DB}}{{DC}} = \dfrac{2}{3}\)

Ta có :

\(\widehat {AHB} = \widehat {CHA} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAH} = \widehat {ACH}\) (cùng phụ với \(\widehat {HAC}\))

Vậy \(\Delta AHB\) đồng dạng \(\Delta CHA\left( {g - g} \right)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{AC}} = \dfrac{{HB}}{{HA}} = \dfrac{2}{3}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{HB}}{2} = \dfrac{{HA}}{3}\) \( \Rightarrow HB = 2k;HA = 3k\)

Theo hệ thức lượng của tam giác vuông, ta có :

\(A{H^2} = HB.HC\)

\( \Rightarrow HC = \dfrac{{A{H^2}}}{{HB}} = \dfrac{{9{k^2}}}{{4k}} = \dfrac{{9k}}{4}(k \ne 0)\)

Vậy \(\dfrac{{HB}}{{HC}} = 2k:\dfrac{{9k}}{4} = \dfrac{{8k}}{{9k}} = \dfrac{8}{9}\)