Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. a) Cho biết BH = 4cm, CH = 2cm. Tính AB,AC? b) Vẽ HD ⊥ AB tại D, HE ⊥ AC tại E. Chứng minh: BD = BC.cos³B , DE³= BD.CE.BC
1 câu trả lời
`a)` $BH=4cm; CH=2cm$
`=>BC=BH+CH=4+2=6cm`
Áp dụng hệ thức lượng trong $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AB^2=BH.BC=4.6=24`
`=>AB=\sqrt{24}=2\sqrt{6}cm`
$\\$
`\qquad AC^2=CH.BC=2.6=12`
`=>AC=\sqrt{12}=2\sqrt{3}cm`
Vậy `AB=2\sqrt{6}cm;AC=2\sqrt{3}cm`
$\\$
`b)` Xét $∆BDH$ vuông tại $D$
`=>cosB={BD}/{BH}`
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$
`=>cosB={BH}/{AB}`
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$
`=>cosB={AB}/{BC}`
$\\$
`=>cos^3 B={BD}/{BH} .{BH}/{AB}. {AB}/{BC}`
`=>cos^3 B={BD}/{BC}`
`=>BD=BC.cos^3 B` (đpcm)
$\\$
Xét tứ giác $ADHE$ có:
`\hat{DAE}=\hat{ADH}=\hat{AEH}=90°`
`=>ADHE` là hình chữ nhật
`=>DE=AH` $(1)$
$\\$
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
Xét $∆ABH$ vuông tại $H$ có $HD\perp AB$
`=>BH^2=BD.AB`
$\\$
Xét $∆ACH$ vuông tại $H$ có $HE\perp AC$
`=>CH^2=CE.AC`
$\\$
Xét $∆ABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$
`=>AH.BC=AB.AC`
`\qquad AH^2=BH.CH`
`=>AH^4=BH^2.CH^2=BD.AB.CE.AC`
`=>AH^4=BD.CE.(AB.AC)`
`=>AH^3 . AH=BD.CE.AH.BC`
(vì $AH.BC=AB.AC$)
`=>AH^3=BD.CE.BC` $(2)$
$\\$
Từ `(1);(2)=>DE^3=BD.CE.BC` (đpcm)