Cho tam giác ABC vuông tại A, biết BC = 10cm, AB = 6cm. a) Giải tam giác vuông ABC b) Vẽ đường cao AH, đường trung tuyến AM của tam giác ABC. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với AM tại ae, đường thẳng BE cắt AH tại D và cắt AC tại F. CMR : BE.BF = BH.BC c) CM : D là trung điểm của BF (Cần lời giải dễ hiểu,gấp nha, ai xong trước mik vote 5*)

a)

$AC=\sqrt{B{{C}^{2}}-A{{B}^{2}}}=\sqrt{{{10}^{2}}-{{6}^{2}}}=8cm$

$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}\Rightarrow \widehat{B}\approx 53{}^\circ 8'$

$\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}\Rightarrow \widehat{C}=36{}^\circ 52'$

Vậy $\Delta ABC$ có: $\begin{cases}AB=6cm\\AC=8cm\\BC=10cm\end{cases}$  và  $\begin{cases}\widehat{A}=90{}^\circ\\\widehat{B}\approx 53{}^\circ 8'\\\widehat{C}\approx 36{}^\circ 52'\end{cases}$

b)

Hệ thức lượng: $\begin{cases}BA^2=BE.BF\\BA^2=BH.BC\end{cases}$$\Rightarrow BE.BF.BH.BC$

c)

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ với $AM$ trung tuyến

$\Rightarrow\begin{cases}MA=MC\\MA=MB\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\Delta MAC \text{ cân tại } M\\\Delta MAB \text{ cân tại } M \end{cases}\Rightarrow\begin{cases}\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\\\widehat{MAB}=\widehat{MBA}\end{cases}$

Có: $\begin{cases}\widehat{DBA}=\widehat{MAC}\,\,\left(\text{ cùng phụ }\widehat{AFB}\right)\\\widehat{MAC}=\widehat{MCA}\,\,\left(cmt\right)\\\widehat{MCA}=\widehat{DAB}\,\,\left(\text{ cùng phụ }\widehat{ABC}\right)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{DBA}=\widehat{DAB}$

$\Rightarrow \Delta DAB$ cân tại $D$

$\Rightarrow DA=DB$

Chứng minh tương tự $DA=DF$

$\Rightarrow DB=DF$

$\Rightarrow D$ là trung điểm của $BF$