Cho tam giác ABC với độ dài các cạnh là a, b, c. Chứng minh rằng: a(b - c)² + b(c - a)² + c(a - b)² > a³ + b³ + c³

Đáp án và giải thích các bước giải:

`a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2>a^3+b^3+c^3`

`⇔` `a(b-c)^2+b(c-a)^2+c(a-b)^2-a^3-b^3-c^3>0`

`⇔` `a[(b-c)^2-a^2]+b[(c-a)^2-b^2]+c[(a-b)^2-c^2]>0`

`⇔` `a(b-c-a)(b-c+a)+b(c-a-b)(c-a+b)+c(a-b-c)(a-b+c)>0`

`⇔` $\begin{cases} a(b-c-a)(b-c+a)>0\\b(c-a-b)(c-a+b)>0\\c(a-b-c)(a-b+c)>0\end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} b-c+a>0\\c-a+b>0\\a-b+c>0\end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} a+b-c>0\\c-a+b>0\\c+a-b>0 \end{cases}$

`⇔` $\begin{cases} a+b>c\\b+c>a\\c+a>b \end{cases}$

Mà `a,b,c` là dộ dài ba cạnh trong một tam giác nên áp dụng BĐT trong tam giác được :

$\begin{cases} a+b>c\\b+c>a\\c+a>b \end{cases}$

`→` BĐT cuối là luôn đúng 

`→` `đpcm`