cho tam giác ABC nhọn. các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H. gọi M là trung điểm của HC, N là trung điểm của AC. AM cắt HN tại G. đường thẳng qua M vuông góc với HC và đường thẳng qua N vuông góc AC cắt nhau tại K. chứng minh rằng: a,tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC. từ đó hãy suy ra diện tích AEF = Sabc.cos²BAC b,BH.KM=BA.KN

$\text{#nan}$ 


$\text{từ đó hãy suy ra diện tích AEF = Sabc.cos²BAC sửa lại đề : từ đó hãy suy ra diện tích $S_{AFE}$ = $S_{ABC}$ . cos² BAC }$

$\text{a) }$

$\text{ΔAEB vuông tại E nên cos BAE = $\frac{AE}{AB}$ }$
 
$\text{ΔACF vuông tại F nên cos CAF = $\frac{AF}{AC}$ }$

$\text{từ đó chứng minh được ΔAEF đồng dạng với tam giác ABC ( c . g . c ) }$

$\text{Vì ΔAEF đồng dạng với ΔABC nên : }$

  $\text{ $\frac{S_{AEF} }{S_{ABC} }$ = $\frac{AE²}{AB²}$ = cos² BAC => $S_{AFE}$ = $S_{ABC}$ . cos² BAC }$
_________________________________________

$\text{b) }$

$\text{ΔABH và ΔMNK có BAH = NMK }$

$\text{ABH = MKN ( góc có cạch tương ứng song song ) }$

$\text{=> ΔAHB đồng dạng với ΔMNK }$

$\text{=> $\frac{BA}{KM}$ = $\frac{BH}{KN}$ => BA . KN = BH . KM }$

Đáp án:

tự vẽ hình nha bạn

a) bạn cần chứng minh tam giác ABE đồng dạng tam giác ACF(g-g)

⇒ABAC=AEAF⇒ABAC=AEAF

tam giác AEF và tam giác ABC có ⎧⎪⎨⎪⎩ABAC=AEAFˆBAC:chung{ABAC=AEAFBAC^:chung

suy ra tam giác AEF đồng dạng tam giác ABC (c-g-c)

b) Gọi I là giao điểm của NC và MK

ta có ˆABH=ˆICMABH^=ICM^(tam giác ABE đồng dạng tam giác ACF)

và ˆICM=ˆIKNICM^=IKN^ ( tam giác IMC đồng dạng tam giác INK (g-g) , tự chứng minh nha bạn )

⇒ˆABH=ˆIKN(1)⇒ABH^=IKN^(1)

ta có ˆBAH=ˆHCDBAH^=HCD^ ( tam giác AHF đồng dạng tam giác CHD (g-g) , tự chứng minh nha bạn )

và ⎧⎪ ⎪ ⎪⎨⎪ ⎪ ⎪⎩ˆNMK+ˆHMN=900ˆHCD+ˆCHD=900ˆCHD=ˆHMN⇒ˆNMK=ˆHCD{NMK^+HMN^=900HCD^+CHD^=900CHD^=HMN^⇒NMK^=HCD^

⇒ˆMNK=ˆBAH(2)⇒MNK^=BAH^(2)

từ (2)(1) suy ra tam giác ABH đồng dạng tam giác MKN(G-G)

⇔ABMK=BHKN⇔AB.KN=BH.MK⇔ABMK=BHKN⇔AB.KN=BH.MK

câu c) bạn chỉ cần chứng minh ⎧⎪⎨⎪⎩GA=2GMGB=2GKGH=2GN{GA=2GMGB=2GKGH=2GN (sài tính chất trọng tâm của tam giác)