Cho tam giác ABC. M và N là trung điểm của BC và AC. Lấy F thuộc tia đối của tia NB sao cho NB = NF, lấy E thuộc tia đối của tia MA sao cho ME = MA. Chứng minh: a) AF = BC b) EC // AB c) C là trung điểm của EF d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để BE ⊥ EC
2 câu trả lời
a,
`\triangle ANF` và `\triangle CNB` có :
`hat{ANF}=hat{CNB}` (Đối đỉnh), `BN=NF` (gt), `AN=CN` (gt)
`->\triangle ANF=\triangle CNB` (c.g.c)
`->AF=BC` (2 cạnh tương ứng)
b,
`\triangle AMB` và `\triangle EMC` có :
`hat{AMB}=hat{EMC}` (Đối đỉnh), `BM=CM` (gt), `MA=ME` (gt)
`->\triangle AMB=\triangle EMC` (c.g.c)
`->hat{MBA}=hat{MCE}` (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
`->` $CE//AB$
c,
`\triangle ANB` và `\triangke CNF` có :
`hat{ANB}=hat{CNF}` (Đối đỉnh), `AN=CN` (gt), `BN=FN` (gt)
`->\triangle ANB=\triangle CNF` (c.g.c)
`->hat{NAB}=hat{NCF}` (2 góc tương ứng)
Mà 2 góc này ở vị trí so le trong
`->` $CF//AB$ mà $AB//CE$ (cmt)
`-> F,C,E` thẳng hàng `(1)`
Lại có `\triangle ANB=\triangle CNF` (cmt)
`-> CF=AB` (2 cạnh tương ứng)
Lại có `\triangle AMB=\triangle EMC` (cmt)
`->AB=CE` (2 cạnh tương ứng)
`->CF=CE (2)`
`(1)(2)-> C` là trung điểm của `EF`
d,
`BE\bot EC->hat{BEC}=90^o`
`\triangle ABC` và `\triangle ECB` có :
`AB=CE` (cmt), `hat{ABC}=hat{ECB}` ($AB//CE$), `BC` chung
`->\triangle ABC=\triangle ECB` (c.g.c)
`->hat{BAC}=hat{CEB}` (2 góc tương ứng) mà `hat{BEC}=90^o` (cmt)
`->hat{BAC}=90^o`
`->\triangle ABC` vuông tại `A`
Vậy `\triangle ABC` vuông tại `A` để `BE\bot EC`
`a)`
Xét `\triangleANF` và `\triangleCNB` có:
`AN = NC` `(N` là trung điểm `AC)`
`\hat{ANF} = \hat{CNB}` `(2` góc đối đỉnh `)`
`BN = NF` $(gt)$
`-> \triangleANF = \triangleCNB` `(c. g. c)`
`-> AF = BC` `(2` cạnh tương ứng `)`
`b)`
Xét `\triangleAMB` và `\triangleEMC` có:
`BM = MC` `(M` là trung điểm `BC)`
`\hat{AMB} = \hat{EMC}` `(2` góc đối đỉnh `)`
`AM = ME` $(gt)$
`-> \triangleAMB = \triangleEMC` `(c. g. c)`
`-> \hat{ABM} = \hat{MCE}` `(2` góc tương ứng `)`
mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong
`=> EC //// AB`
`c)`
Ta có: `\triangleAMB = \triangleEMC` `(cmt)`
`-> AB = CE` `(2` cạnh tương ứng `)`
Xét `\triangleANB` và `\triangleCNF` có:
`AN = NC` `(N` là trung điểm `AC)`
`\hat{ANB} = \hat{CNF}` `(2` góc đối đỉnh `)`
`BN = NF` $(gt)$
`-> \triangleANB = \triangleCNF` `(c. g. c)`
`-> AB = CF` `(2` cạnh tương ứng `)`
mà: `AB = CE` `(cmt)`
`-> CF = CE` `(` cùng `= AB )`
Ta có: `\hat{ABN} = \hat{NFC}` `(\triangleANB = \triangleCNF - cmt )`
mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong
`-> AB //// CF`
mà: `AB //// EC` `(cmt)`
`-> E, C, F` thẳng hàng `(` Tiên đề Ơ cơ lít `)`
lại có: `CE = CF` `(cmt)`
`=> C` là trung điểm `EF`
`d)`
Ta có: `AB //// CE` `(cmt)`
`-> \hat{ABC} = \hat{BCE}` `(2` góc so le trong `)`
Xét `\triangleABC` và `\triangleECB` có:
`AB = CE` `(cmt)`
`\hat{ABC} = \hat{BCE}` `(cmt)`
`BC` chung
`-> \triangleABC = \triangleECB` `(c. g. c)`
`-> \hat{BAC} = \hat{BEC}` `(2` góc tương ứng `)`
`BE ⊥ EC` tại `E` `<=> \hat{BEC} = 90^0`
`<=> \hat{BAC} = 90^0`
`<=> AB ⊥ AC` tại `A`
`<=> \triangleABC` vuông tại `A`
