Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn (AB < AC) nội tiếp (O;R).Vẽ hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H .Vẽ đường kính AI của (O) . 1/Chứng tỏ : tứ giác AEHD nội tiếp được 2/Chứng tỏ : AH.AC =AE.AI 3/DE cắt (O) tại S ( S thuộc cung nhỏ AC) ,SI cắt BC tại K .Chứng tỏ : AK vuông góc với HS 4/ HS cắt BC tại L . Chứng tỏ :Đường tròn ngoại tiếp tam giác tam giác LBD , AK,HS đồng quy tại 1 điểm

Đáp án:

Lời giải:

1) Xét tứ giác AEHD có :

góc AEH + góc AD =90 độ + 90 độ =180 độ

=> Tứ giác AEHD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 độ)

2) Xét tứ giác BCDE có góc BEC = góc BDC =90 độ

=> tứ giác BCDE là tg nt (tg có hai đỉnh cùng nhìn 1 cạnh dưới các góc bằng nhau)

=> góc EDB = góc ECB

Ta có góc ACI nội tiếp chắn nửa đường tròn

=> Góc ACI = 90 độ => Tam giác ACI vuông tại C

Xét tam giác vuông AEH và ACI có:

Góc AEH = góc ACI = 90 độ

Góc EAH = góc EDH = góc EDB (hai góc nt cùng chắn cung EH)

=> Góc EAH = góc ECB

Mà góc ECB + góc ABC = 90 độ

Góc CAI + góc AIC = 90 độ

Góc ABC = góc AIC (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC)

=> góc EAH = góc CAI

=> Tam giác AEH đồng dạng với tam giác ACI (g.g)

=> AH/AI = AE/AC => AH.AC=AE.AI

3)