Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AH, trực tâm I. Biết AI = 7cm ; BI =15cm. Độ dài AH bằng :

Đáp án:

$AH=16\left(cm\right)$

Giải thích các bước giải:

Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ có đường cao $AH$

Nên $AH$ cũng là đường trung tuyến

$\Rightarrow BH=CH$

Đặt $IH=x\left( cm \right)\left( x>0 \right)$

$\Rightarrow\begin{cases}AH=7+x\\BH=\sqrt{15^2-x^2}\end{cases}$

Xét $\Delta BIH$ và $\Delta ACH$, ta có:

$\widehat{BIH}=\widehat{ACH}$ (cùng phụ $\widehat{IBC}$)

$\widehat{BHI}=\widehat{AHC}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \Delta BIH\backsim\Delta ACH\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{BH}{AH}=\dfrac{IH}{CH}$

$\Rightarrow BH.CH=AH.IH$

$\Rightarrow B{{H}^{2}}=AH.IH$

$\Rightarrow {{15}^{2}}-{{x}^{2}}=\left( 7+x \right).x$

$\Rightarrow 2{{x}^{2}}+7x-225=0$

$\Rightarrow \left( x-9 \right)\left( 2x+25 \right)=0$

$\Rightarrow x=9$ (nhận)  hoặc  $x=-\dfrac{25}{2}$ (loại)

Vậy $AH=7+x=7+9=16\left( cm \right)$