Cho S.ABCD,ABCD là hình thoi cạnh 2atâm O, SA=SC;SB=SD=a, góc giữa SD và mặt phẳng (ABCD) bằng 60∘. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng

Đáp án:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt5}{4}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$ABCD$ là hình thoi

$AC \cap BD =\left\{O\right\}$

$\Rightarrow OA = OC;\, OB=OD$

Ta lại có:

$SA = SC;\, SB = SD$

$\Rightarrow SO\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SD;(ABCD))}=\widehat{SDO}=60^o$

$\Rightarrow \begin{cases}SO = SD.\sin60^o = \dfrac{a\sqrt3}{2}\\OD = SA.\cos60^o =\dfrac{a}{2}\end{cases}$

Do $AC\perp BD$

$\Rightarrow AO\perp DO$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$AD^2 = AO^2 + OD^2$

$\Rightarrow AO =\sqrt{AD^2 - OD^2}=\sqrt{4a^2 - \dfrac{a^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

$\Rightarrow S_{ADO}=\dfrac{1}{2}AO.DO = \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt{15}}{2}\cdot\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{8}$

$\Rightarrow S_{ABCD}=4S_{ADO}=\dfrac{a^2\sqrt{15}}{2}$

Ta được:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SO =\dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt{15}}{2}\cdot\dfrac{a\sqrt3}{2}=\dfrac{a^3\sqrt5}{4}$