cho pt : x bình -2(m-1)x-m-3=0 a) c tỏ pt có 2 nghiệm với mọi x b) tìm m để pt có 2 nghiệm x1,x2 tm x1 bình+x2 bình=10 b) tìm m để pt có 2 nghiệm x1,x2 tm (x1-1) (x2-1)=3

Đáp án:

a) pt luôn có 2 nghiệm pb

b) $m=0$ hoặc $m=\dfrac{3}{2}$

c) $m=-1$

Giải thích các bước giải:

${{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x-m-3=0$

a)

$\Delta '={{\left( m-1 \right)}^{2}}-\left( -m-3 \right)$

$\Delta '={{m}^{2}}-2m+1+m+3$

$\Delta '={{m}^{2}}-m+4$

$\Delta '=\left( {{m}^{2}}-m+\dfrac{1}{4} \right)+\dfrac{15}{4}$

$\Delta '={{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{15}{4}>0$

Nên pt luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi $m$

b)

Vì pt luôn có 2 nghiệm phân biệt

Nên theo hệ thức Vi-et, ta có $\begin{cases}x_1+x_2=2m-2\\x_1x_2=-m-3\end{cases}$

Có $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=10$

$\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-2{{x}_{1}}{{x}_{2}}=10$

$\Leftrightarrow {{\left( 2m-2 \right)}^{2}}-2\left( -m-3 \right)=10$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-8m+4+2m+6=10$

$\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}-6m=0$

$\Leftrightarrow 2m\left( 2m-3 \right)=0$

$\Leftrightarrow m=0$   hoặc   $m=\frac{3}{2}$

c)

Có $\left( {{x}_{1}}-1 \right)\left( {{x}_{2}}-1 \right)=3$

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}{{x}_{2}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+1=3$

$\Leftrightarrow \left( -m-3 \right)-\left( 2m-2 \right)=2$

$\Leftrightarrow -3m=3$

$\Leftrightarrow m=-1$