Cho pt :x^2 -(m-2)x-m^2+3m-4=0 Tìm m để tỉ số giữa 2 nghiệm PT có giá trị tuyệt đối bằng 2

Đáp án:  $m=1$  hoặc  $m=4$

Giải thích các bước giải:

${{x}^{2}}-\left( m-2 \right)x-{{m}^{2}}+3m-4=0$

$\Delta ={{\left( m-2 \right)}^{2}}-4\left( -{{m}^{2}}+3m-4 \right)$

$\Delta ={{\left( m-2 \right)}^{2}}+4\left( {{m}^{2}}-3m+4 \right)$

$\Delta ={{\left( m-2 \right)}^{2}}+4\left[ \left( {{m}^{2}}-3m+\dfrac{9}{4} \right)+\dfrac{7}{4} \right]$

$\Delta ={{\left( m-2 \right)}^{2}}+4\left[ {{\left( m-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{7}{4} \right]>0\,\,\forall m\in \mathbb{R}$

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt

Theo hệ thức Vi-et, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=m-2\\x_1x_2=-m^2+3m-4\end{cases}$

Tỉ số hai nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng $2$

$\Leftrightarrow \left| \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right|=2$

$\Leftrightarrow \left| {{x}_{1}} \right|=2\left| {{x}_{2}} \right|$

$\Leftrightarrow {{x}_{1}}=2{{x}_{2}}$   hoặc   ${{x}_{1}}=-2{{x}_{2}}$

$\bullet \,\,\,\,\,$Giải hệ $\begin{cases}x_1+x_2=m-2\\x_1=2x_2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}2x_2+x_2=m-2\\x_1=2x_2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}3x_2=m-2\\x_1=2x_2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=\dfrac{m-2}{3}\\x_1=\dfrac{2\left(m-2\right)}{3}\end{cases}$

Thay vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+3m-4$

Ta được $\dfrac{2\left( m-2 \right)}{3}\cdot \dfrac{m-2}{3}=-{{m}^{2}}+3m-4$

$\Leftrightarrow \dfrac{2}{9}{{\left( m-2 \right)}^{2}}=-{{m}^{2}}+3m-4$

Ta có:

$VT=\dfrac{2}{9}{{\left( m-2 \right)}^{2}}\ge 0\,\,\forall m\in \mathbb{R}$

$VP=-{{m}^{2}}+3m-4=-{{\left( m-\dfrac{3}{2} \right)}^{2}}-\dfrac{7}{4}<0\,\,\forall m\in \mathbb{R}$

Như vậy $VP<0\le VT$

Nên phương trình vô nghiệm

$\bullet \,\,\,\,\,$Giải hệ $\begin{cases}x_1+x_2=m-2\\x_1=-2x_2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}-2x_2+x_2=m-2\\x_1=-2x_2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=2-m\\x_1=2m-4\end{cases}$

Thay vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=-{{m}^{2}}+3m-4$

Ta được $\left( 2m-4 \right)\left( 2-m \right)=-{{m}^{2}}+3m-4$

$\Leftrightarrow 4m-2{{m}^{2}}-8+4m=-{{m}^{2}}+3m-4$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-5m+4=0$

$\Leftrightarrow \left( m-1 \right)\left( m-4 \right)=0$

$\Leftrightarrow m=1$   hoặc   $m=4$

Vậy $m=1$ hoặc $m=4$ thì $\left| \dfrac{{{x}_{1}}}{{{x}_{2}}} \right|=2$