Cho pt : x^2 -2(m-1)x -5 =0a, tìm m để pt có 2 ng° x1x1,x2 thỏa mãn x1^2 + x2^2 = 18 b,với x1,x2 là 2 ng° của phương trình.Tìm pt bậc hai ẩn y có 2 ng° là y1y1= x1/x2 và y2= x2/x1

$a)$ PT có 2 nghiệm khi $\Delta'\ge 0$

$\Leftrightarrow (m-1)^2+20\ge 0$ (luôn đúng)

$\Rightarrow $ PT có 2 nghiệm với mọi $m$

Áp dụng định lí Vi-ét:

$\begin{cases} x_1+x_2=2(m-1)\\ x_1x_2=-5 \end{cases}$

Mà $x_1^2+x_2^2=18$

$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2=18$

$\Leftrightarrow 4(m-1)^2+10=18$

$\Leftrightarrow (m-1)^2=2$

$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}m-1=\sqrt{2}\\m-1=-\sqrt{2}\end{array} \right.$
$\Leftrightarrow\left[ \begin{array}{l}m=\sqrt{2}+1\\m=-\sqrt{2}+1\end{array} \right.$

Vậy để $x_1^2+x_2^2=18$ thì $m=\pm \sqrt{2}+1$

$b)y_1+y_2=\dfrac{x_1}{x_2}+\dfrac{x_2}{x_1}=\dfrac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}$

$\Leftrightarrow y_1+y_2=\dfrac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\dfrac{4(m-1)^2+10}{10}=\dfrac{2(m-1)^2}{5}+1$

Ta có $y_1y_2=\dfrac{x_1}{x_2}.\dfrac{x_2}{x_1}=1$

Do đó $y_1$ và $y_2$ là nghiệm của PT: $y^2-(y_1+y_2)y+(y_1y_2)=0$

$\Leftrightarrow y^2-\dfrac{2(m-1)^2}{5}y+1=0$

$\Leftrightarrow 5y^2-2(m-1)^2.y+1=0$

Vậy $y_1,y_2$ là nghiệm của PT $5y^2-2(m-1)^2.y+1$