Cho phương trình: $ {{x}^{2}}+(m-2)x-\left( {{m}^{2}}-4 \right)=0 $ ( $ m $ là tham số). Tìm các giá trị nguyên của $ m $ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $ {{x}_{1}}\,;\,{{x}_{2}} $ thỏa mãn $ \left| {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right|=4 $ .

Đáp án:

 CHÚC BẠN HỌC TỐT !!!!!!!!!

Giải thích các bước giải:

    $m ∈ Z$

Phương trình:

    $x² + (m - 2)x - (m² - 4) = 0$    $(1)$

$[a = 1 ; b = m - 2 ; c = - (m² - 4)]$

$Δ = b² - 4ac = (m - 2)² - 4.[- (m² - 4)]$

     $= (m - 2)² + 4.(m - 2).(m + 2)$

     $= (m - 2).[(m - 2) + 4.(m + 2)]$

     $= (m - 2).(m - 2 + 4m + 8)$

     $= (m - 2).(5m + 6)$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt

    $Δ > 0$

$⇔ (m - 2).(5m + 6) > 0$

$⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}m > 2\\m < -\frac{6}{5}\end{array} \right.\)

Khi đó, áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình $(1)$:

      $\left \{ {{x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - (m - 2)} \atop {x_1.x_2 = \frac{c}{a} = - (m² - 4)}} \right.$

Ta có:

      $|x_1 - x_2| = 4$

$⇔ |x_1 - x_2|² = 4²$

$⇔ x_1² - 2x_1x_2 + x_2² = 16$

$⇔ (x_1² + 2x_1x_2 + x_2²) - 2x_1x_2 - 2x_1x_2 = 16$

$⇔ (x_1 + x_2)² - 4x_1x_2 - 16 = 0$

$⇔ [- (m - 2)]² - 4[- (m² - 4)] - 16 = 0$

$⇔ m² - 4m + 4 + 4m² - 16 - 16 = 0$

$⇔ 5m² - 4m - 28 = 0$

$⇔ (5m² + 10m) - (14m + 28) = 0$

$⇔ (m + 2).(5m - 14) = 0$

$⇔$ \(\left[ \begin{array}{l}m = - 2 (T/m)\\m = \frac{14}{5} (loại)\end{array} \right.\) 

Vậy `m = - 2` thì phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn $|x_1 - x_2| = 4.$