Cho phương trình : `x^2 + 4x - 2(m-1).|x+2| + m + 5 = 0` (m là tham số). Tìm m để phương trình đã cho vô nghiệm.

Đáp án:

`-1<m<3` 

Giải thích các bước giải:

` x^2+4x-2(m-1)|x+2|+m+5=0\ (1)`

`<=>x^2+4x+4-2(m-1)|x+2|+m+1=0`

`<=>(x+2)^2-2(m-1)|x+2|+m+1=0`

`<=>|x+2|^2-2(m-1)|x+2|+m+1=0`

Đặt `t=|x+2|; t\ge 0`

Phương trình trở thành:

`\qquad t^2-2(m-1)t+m+1=0` `(2)`

`∆=[-2(m-1)]^2-4.1.(m+1)`

`=4m^2-8m+4-4m-4=4m^2-12m`

$\\$

Để `(1)` vô nghiệm thì `(2)` vô nghiệm hoặc có nghiệm âm

$\\$

+) `TH1: (2)` vô nghiệm 

`<=>∆<0`

`<=>4m^2-12m<0`

`<=>4m(m-3)<0`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}4m<0\\m-3>0\end{cases}\\\begin{cases}4m>0\\m-3<0\end{cases}\end{array}\right.$`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}m<0\\m>3\end{cases}\ (loại)\\\begin{cases}m>0\\m<3\end{cases}\end{array}\right.$

`=>0<m<3` (*)

$\\$

+) `TH2: (2)` có nghiệm âm `x_1;x_2<0`

`(2)` có nghiệm `x_1;x_2` `<=>∆\ge 0`

`<=>4m^2-12m\ge 0`

`<=>4m(m-3)\ge 0`

`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}4m\ge 0\\m-3\ge 0\end{cases}\\\begin{cases}4m\le 0\\m-3\le 0\end{cases}\end{array}\right.$`<=>`$\left[\begin{array}{l}\begin{cases}m\ge 0\\m\ge 3\end{cases}\\\begin{cases}m\le 0\\m\le 3\end{cases}\end{array}\right.$

`<=>`$\left[\begin{array}{l}m\ge 3\\m\le 0\end{array}\right.$ `(3)`

Với `m\ge 3` hoặc `m\le 0`, theo hệ thức Viet ta có:

$\quad \begin{cases}x_1+x_2=\dfrac{-b}{a}=2(m-1)\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m+1\end{cases}$

Để `x_1<0;x_2<0`

`<=>`$\begin{cases}x_1+x_2<0\\x_1x_2>0\end{cases}$`<=>`$\begin{cases}2(m-1)<0\\m+1>0\end{cases}$

`<=>`$\begin{cases}m<1\\m> -1\end{cases}$

`<=> -1<m<1` `(4)`

Từ `(3);(4)=> -1<m\le 0` (**)

Từ (*);(**) `=> -1<m<3` thỏa mãn đề bài