Cho phương trình (m + 2)x2 - (m + 4)x + 2 - m = 0 (m là tham số).tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m.

Đáp án:

\({x_1}{x_2} = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3\) là hệ thức không phụ thuộc m

Giải thích các bước giải:

 Để phương trình có nghiệm

\(\begin{array}{l}
 \to \left( {m + 2} \right){x^2} - \left( {m + 4} \right)x + 2 - m = 0\\
 \to {\left( {m + 4} \right)^2} - 4.\left( {2 - m} \right)\left( {m + 2} \right) \ge 0\\
 \to {m^2} + 8m + 16 - 4\left( {4 - {m^2}} \right) \ge 0\\
 \to {m^2} + 8m + 16 - 16 + 4{m^2} \ge 0\\
 \to 5{m^2} + 8m \ge 0\\
 \to \left[ \begin{array}{l}
m \ge 0\\
m \le  - \dfrac{8}{5}
\end{array} \right.\\
Vi - et:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \dfrac{{m + 4}}{{m + 2}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{2 - m}}{{m + 2}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\left( {m + 2} \right) = m + 4\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{2 - m}}{{m + 2}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} + {x_2}} \right)m + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = m + 4\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{2 - m}}{{m + 2}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} + {x_2} - 1} \right)m = 4 - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{2 - m}}{{m + 2}}
\end{array} \right.\\
 \to \left\{ \begin{array}{l}
m = \dfrac{{4 - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1} + {x_2} - 1}}\\
{x_1}{x_2} = \dfrac{{2 - \dfrac{{4 - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1} + {x_2} - 1}}}}{{\dfrac{{4 - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1} + {x_2} - 1}} + 2}}\left( * \right)
\end{array} \right.\\
\left( * \right) \to {x_1}{x_2} = \dfrac{{2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2 - 4 + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1} + {x_2} - 1}}:\dfrac{{4 - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2}}{{{x_1} + {x_2} - 1}}\\
 \to {x_1}{x_2} = \dfrac{{4\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 6}}{2}\\
 \to {x_1}{x_2} = 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 3
\end{array}\)