Cho $(P): y=x^{2}$ và đường thẳng $(d): y= mx+m+1$ $a,$ Tìm m để (d) cắt P ở hai điểm $A,B$ $b,$ Gọi $x_{1},x_{2}$ là hoành độ giao điểm của $A, B$. Tìm m để $|x_{1}-x_{2}|=2$

Đáp án:

a) Xét pt hoành độ giao điểm:

$\begin{array}{l}
{x^2} = mx + m + 1\\
 \Leftrightarrow {x^2} - mx - m - 1 = 0\left( 1 \right)
\end{array}$

Để chúng cắt nhau tại 2 điểm phân biệt thì pt (1) có 2 nghiệm phân biệt

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \Delta  > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 4\left( { - m - 1} \right) > 0\\
 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 > 0\\
 \Leftrightarrow {\left( {m + 2} \right)^2} > 0\\
 \Leftrightarrow m + 2 \ne 0\\
 \Leftrightarrow m \ne  - 2\\
Vay\,m \ne  - 2\\
b)Khi:m \ne  - 2\\
Theo\,Viet:\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = m\\
{x_1}{x_2} =  - m - 1
\end{array} \right.\\
\left| {{x_1} - {x_2}} \right| = 2\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2} = 4\\
 \Leftrightarrow {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 4{x_1}{x_2} = 4\\
 \Leftrightarrow {m^2} - 4.\left( { - m - 1} \right) = 4\\
 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 4 = 4\\
 \Leftrightarrow {m^2} + 4m = 0\\
 \Leftrightarrow m\left( {m + 4} \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0\left( {tm} \right)\\
m =  - 4\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
Vậy\,m = 0;m =  - 4
\end{array}$