Cho (O) và dây BC không đi qua tâm. Trên tia đoi của tia BC lấy điểm M. Từ M kẻ tiếp tuyến ME; MF (E; F là tiếp điểm). Đoạn MO cắt (O) tại A. a) Chứng minh: MO là đường trung trực của EF và AE = AF b) Doạn EF cắt BC tại K. Chứng minh KB.KC = KE.KF c) Chứng minh rằng khi M di chuyển trên tia đối của tia BC thì EF luôn đi qua một điểm cố

a)

Ta có:

+ $ME=MF$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

+ $OE=OF=R$

Nên $MO$ là đường trung trực của $EF$

Có $A\in MO$

Nên $AE=AF$

b)

Xét $\Delta KBE$ và $\Delta KFC$, ta có:

$\widehat{KBE}=\widehat{KFC}$ (cùng chắn cung $EC$)

$\widehat{BKE}=\widehat{FKC}$ (hai góc đối đỉnh)

$\Rightarrow \Delta KBE\backsim\Delta KFC\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{KB}{KF}=\dfrac{KE}{KC}$

$\Rightarrow KB.KC=KE.KF$

c)

Vẽ tiếp tuyến tại $B$ và $C$ cắt nhau tại $D$

Do $BC$ cố định nên $D$ cố định

Gọi $G$ là giao điểm $OD$ và $BC$

Ta có:

+ $OB=OC=R$

+ $DB=DC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow DO$ là đường trung trực của $BC$

$\Rightarrow DO\bot BC$ tại $G$

Xét $\Delta OBD$ vuông tại $B$ với đường cao $BG$

$\Rightarrow {{R}^{2}}=O{{B}^{2}}=OG.OD$ (hệ thức lượng)   $\left( 1 \right)$

Có $MO$ là đường trung trực của $EF$

Gọi $H$ là giao điểm $MO$ và $EF$

$\Rightarrow MO\bot EF$ tại $H$

Xét $\Delta OEM$ vuông tại $E$ với đường cao $EH$

$\Rightarrow {{R}^{2}}=O{{E}^{2}}=OH.OM$ (hệ thức lượng)   $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$

$\Rightarrow OG.OD=OH.OM$

$\Rightarrow \dfrac{OG}{OH}=\dfrac{OM}{OD}$

Xét $\Delta OGM$ và $\Delta OHD$, ta có:

$\dfrac{OG}{OH}=\dfrac{OM}{OD}\left( cmt \right)$

$\widehat{GOM}$ chung

$\Rightarrow \Delta OGM\backsim\Delta OHD\left( c.g.c \right)$

$\Rightarrow \widehat{OGM}=\widehat{OHD}=90{}^\circ $

$\Rightarrow DH\bot MO$ tại $H$

Mà $EF\bot MO$ tại $H$

Nên 4 điểm $E,F,H,D$ thẳng hàng

Điều đó có nghĩa $EF$ đi qua điểm $D$ cố định