Cho (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Gọi H là trung điểm của BC. 1) CM: A,O,H thẳng hàng và các điểm A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn 2) Kẻ đường kính BD của (O), vẽ CK vuông góc BD. Cm: AC.CD = CK.AO 3) Tia AO cắt (O) theo thứ tự tại M và N. Cm: NH.An = AM.HN

1)

Có $OB=OC=R$

      $AB=AC$ (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow $$OA$ là đường trung trực $BC$

$\Rightarrow OA\bot BC$ tại trung điểm $BC$

Mà $H$ trung điểm $BC$

$\Rightarrow A,O,H$ thẳng hàng

$\Delta ABO$ và $\Delta ACO$ lần lượt vuông tại $B$ và $C$ với cạnh huyền $OA$

$\Rightarrow A,B,O,C$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $OA$

2)

$BD$ là đường kính của $\left( O \right)$

$\Rightarrow BC\bot CD$

$\Rightarrow AO//CD$

$\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{OCD}$

$\Rightarrow \widehat{AOC}=\widehat{ODC}$

Lại có $\widehat{ACO}=\widehat{CKD}=90{}^\circ $

$\Rightarrow \Delta ACO\backsim\Delta CKD\left( g.g \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AC}{CK}=\dfrac{AO}{CD}\Rightarrow AC.CD=CK.AO$

3)

$AO$ là đường trung trực của $BC$

Mà $M\in OA$

$\Rightarrow M$ là điểm chính giữa $\overset\frown{BC}$

$\Rightarrow \overset\frown{MB}=\overset\frown{MC}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2}\overset\frown{MB}=\dfrac{1}{2}\overset\frown{MC}$

$\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{CBM}$

$\Rightarrow BM$ là phân giác $\widehat{ABC}$

Lại có $BM\bot BN$ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

$\Rightarrow BN$ là phân giác ngoài $\widehat{ABC}$

$\Rightarrow \dfrac{AM}{MH}=\dfrac{AN}{HN}\Rightarrow MH.AN=AM.HN$