Cho (O;R), 2 đường kính AB và CD vuông góc với nhau.Trên tia đối của CO lấy điểm S,SA cắt đường tròn tại M, tiếp tuyến của đường tròn ở M cắt CD tại P,BM cắt CD tại T.CM: a,PT.MA=MT.OA b,PS=PM=PT c,Biết PM=R.Tính TA.SM theo R

`a)`

Ta có:`hat{O_1}+hat{O_2}=90^o(g``t)`

          `hat{P_1}+hat{O_2}=90^o(2` góc phụ nhau)

`⇒hat{O_1}=hat{P_1}`

Xét `ΔAMB` nội tiếp đường tròn `(O)` có `AB` là đường kính

`⇒ΔAMB` vuông tại `M`

`⇒hat{AMB}=90^o`

`⇒hat{M_1}+hat{M_2}=90^o(1)`

Ta có:`hat{OMP}=90^o`(tính chất tiếp tuyến)

`⇒hat{PMT}+hat{M_2}=90^o(2)`

Từ `(1)` và `(2)⇒hat{M_1}=hat{PMT}`

Xét `ΔOMA` và `ΔPMT` có:

        `hat{O_1}=hat{P_1}(cmt)`

        `hat{M_1}=hat{PMT}(cmt)`

`⇒ΔOMA`$\backsim$`ΔPMT(g.g)`

`⇒(OA)/(PT)=(MA)/(MT)`

`⇒PT.MA=MT.OA(đpcm)`

`b)`

Ta có:`OB=OM=R`

`⇒ΔOBM` cân tại `O`

`⇒hat{B_1}=hat{M_2}`(tính chất `Δ` cân)

Mà `hat{B_1}+hat{T_1}=90^o(2` góc phụ nhau)

       `hat{M_2}+hat{PMT}=90^o(cmt)`

`⇒hat{T_1}=hat{PMT}`

Mà `hat{T_1}=hat{T_2}(2` góc đối đỉnh)

`⇒hat{T_2}=hat{PMT}`

`⇒ΔPMT` cân tại `P`

`⇒PM=PT`(tính chất `Δ` cân)`(3)`

Ta có:`hat{AMB}=90^o(cmt)`

Mà `hat{AMB}+hat{SMT}=180^o(2` góc kề bù)

`⇒hat{SMT}=90^o`

`⇒hat{M_1}+hat{PMT}=90^o`

Mà `hat{T_2}=hat{PMT}(cmt)`

`⇒hat{M_1}+hat{T_2}=90^o`

Mà `hat{S}+hat{T_2}=90^o(2` góc phụ nhau)

`⇒hat{M_1}=hat{S}`

`⇒ΔPSM` cân tại `P`

`⇒PS=PM`(tính chất `Δ` cân)`(4)`

Từ `(3)` và `(4)⇒PS=PM=PT(đpcm)`

`c)`

Ta có:`hat{SMT}=90^o(cmt)`

`⇒ΔSMT` vuông tại `M`

Xét `ΔSMT` vuông tại `M` có `MP` là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền `TS` nên ta có:

                                                        `PM=1/2TS`

                                                     `⇒TS=2PM`

                                                     `⇒TS=2R`

Xét `ΔATB` có:

`TO` là đường cao

`TO` là đường trung tuyến

`⇒ΔATB` cân tại `T`

`⇒TA=TB`(tính chất `Δ` cân)

Xét `ΔSMT` và `ΔBOT` có:

      `hat{SMT}=hat{BOT}=90^o`

      `hat{T_2}=hat{T_1}(2` góc đối đỉnh)

`⇒ΔSMT`$\backsim$`ΔBOT(g.g)`

`⇒(SM)/(BO)=(TS)/(TB)`

`⇒TB.SM=BO.TS`

`⇒TA.SM=R.2R`

`⇒TA.SM=2R²`

Vậy `TA.SM=2R²`