Cho nửa đường tròn tâm `O` , đường kính `AB = 2R` . `M` là `1` điểm tùy ý trên nửa đường tròn `( M khác A, B)`. Tiếp tuyến của `O` tại `M` cắt các tiếp tuyến tại `A` và `B` của đường tròn `O` tại các điểm `C` và `D`. Tìm gtnn của tổng diện tích `2` tam giác `ACM` và `BDM`

Gọi $E$ trung điểm $CD$ $\Rightarrow OE\ge OM=R$

$\Rightarrow OE$ là đường trung bình hình thang $ACDB$

$\Rightarrow {{S}_{ACDB}}=OE.AB$

Kẻ $MH\bot AB$

$\Rightarrow MH\le MO$

$\Rightarrow -MH\ge -MO=-R$

Có: ${{S}_{\Delta ACM}}+{{S}_{\Delta BDM}}={{S}_{ACDB}}-{{S}_{\Delta AMB}}$

$\Leftrightarrow {{S}_{\Delta ACM}}+{{S}_{\Delta BDM}}=OE.AB-\dfrac{1}{2}MH.AB$

$\Leftrightarrow {{S}_{\Delta ACM}}+{{S}_{\Delta BDM}}=OE.2R-\dfrac{1}{2}MH.2R$

$\Leftrightarrow {{S}_{\Delta ACM}}+{{S}_{\Delta BDM}}=R\left( 2OE-MH \right)$

$\Leftrightarrow {{S}_{\Delta ACM}}+{{S}_{\Delta BDM}}\ge R\left( 2R-R \right)$

$\Leftrightarrow {{S}_{\Delta ACM}}+{{S}_{\Delta BDM}}\ge {{R}^{2}}\left( const \right)$

$\Leftrightarrow \min ={{R}^{2}}$

Dấu “=” xảy ra khi $M$ là điểm chính giữa cung $AB$