Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB (đường kính của một đường tròn chia đường tròn đó thành hai nửa đường tròn). Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B), kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt Ax và By theo thứ tự ở C và D. Chứng minh rằng:

a) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$OC$ là tia phân giác của $\widehat {AOM}$

$OD$ và tia phân giác của $\widehat{ BOM}$

Do $OC$ và $OD$ là các tia phân giác của hai góc kề bù ( $\widehat{AOM}$ và $\widehat{ BOM}$)

Nên $OC \bot OD\Rightarrow \widehat{COD}=90^o$ (đpcm).

b) Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

$CM = AC$, $DM = BC$

$\Rightarrow  CD = CM + DM = AC + BD $ (đpcm).

c) Ta có: $AC = CM$, $BD = DM \Rightarrow  AC.BD = CM.MD$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $COD\bot O$ ta có:

$CM.MD=OM^2=R^2$ (không đổi).