Cho nửa đường tròn (O;R),M là một điểm trên nửa đường tròn(M khác A,B),tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B ở C và D a)Chứng minh tam giác COD vuông tại O b)Chứng minh AC.BD=R^2 c)Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD d)Gọi H là giao điểm của AD và BC.Chứng minh rằng MH vuông góc với AB

a)

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

$OC$ là tia phân giác $\widehat{MOA}$

$OD$ là tia phân giác $\widehat{MOB}$

Mà $\widehat{MOA}$ và $\widehat{MOB}$ là hai góc kề bù

Nên $OC\bot OD$

Do đó $\Delta COD$ vuông tại $O$

b)

Ta có $\Delta COD$ vuông tại $O$ với đường cao $OM$

$\Rightarrow O{{M}^{2}}=MC.MD$ (hệ thức lượng)

Mà:

$OM=R$

$MC=AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$MD=BD$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên: ${{R}^{2}}=AC.BD$

c)

Gọi $I$ là trung điểm $CD$

$\Rightarrow I$ là tâm đường tròn đường kính $CD$

Ta có $AC//BD$ (cùng vuông góc $AB$)

Nên $ACDB$ là hình thang

Lại có $O,I$ lần lượt là trung điểm $AB,CD$

$\Rightarrow OI$ là đường trung bình hình thang $ACDB$

$\Rightarrow OI//AC//BD$

$\Rightarrow OI\bot AB$

$\Rightarrow AB$ là tiếp tuyến của đường tròn đường kính $CD$

d)

Có $AC//BD$ và $AD$ giao $BC$ tại $H$

$\Rightarrow \dfrac{HA}{HD}=\dfrac{AC}{BD}$ (hệ quả định lý Ta-let)

Mà: $AC=MC$; $BD=MD$

Nên: $\dfrac{HA}{HD}=\dfrac{MC}{MD}$

$\Rightarrow MH//AC$ (Định lý Ta-let đảo)

$\Rightarrow MH\bot AB$