Cho nửa đường tròn(O,R) đường kính AB. M là điểm trên nửa đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. a. Chứng minh: CD=AC+BD b. Chứng minh: COD=90° c. Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Giải thích các bước giải:

a) Xét `(O,R)` có: 

`AC` và `CM` là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại `C => AC=CM`

`DB` và `DM` là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại `D => DB=DM `

`=> AC+BD=CM+DM=CD`

b) Xét `(O,R)` có: 

`AC` và `CM` là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại `C`

`=> OC` là phân giác của `\hat{AOM} => \hat{AOC}=\hat{COM}`

`DB` và `DM` là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại `D`

`=> OD` là phân giác của `\hat{BOM} => \hat{BOD}=\hat{MOD}`

`=> \hat{AOC}+\hat{BOD}=\hat{COM}+\hat{MOD}`

mà  `\hat{AOC}+\hat{BOD}+\hat{COM}+\hat{MOD}=180^0`

`=> \hat{COM}+\hat{MOD}=90^0 => \hat{COD}=90^0`

c) Gọi `I` là trung điểm của `OD`

`\hat{COD}=90^0 => ΔOCD` vuông tại `O`

`=> O` thuộc đường tròn tâm `I` đường kính `CD `   (1)

`AC; BD` là 2 tiếp tuyến của `(O)`

`=> AC⊥AB; BD⊥AB =>` $AC//BD$

`=>` tứ giác `ACDB` là hình thang

lại có: `I` là trung điểm của `CD; O` là trung điểm của `AB`

`=> OI` là đường trung bình

`=>` $OI//AB//CD$

`=> OI⊥AB`  (2)

 Từ (1) và (2) `=> AB` là tiếp tuyến của đường tròn đường kính `CD`.