Cho nửa đường tròn (O,R) đường kính AB. M là điểm trên nửa đường tròn, tiếp tuyến tại M cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D a.chứng minh : CD=AC+BD b.Chứng minh :COD=90° c. Chứng minh: AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

Kẻ OC và OD

a)Ta có: AC và CM là tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại C

=>CM=AC ⁽¹⁾  , OC là phân giác của ∠AOM ⇔ ∠AOC= ∠MOC

Lại có:  BD và MD là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O), cắt nhau tại D

=> BD=MD⁽²⁾  , OD là tia phân giác của ∠BOM ⇔ ∠BOD =∠MOD

Vì ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=∠AOB=180^O

Mà ∠AOC=∠COM, ∠MOD=∠DOB

Nên ∠AOC+∠COM+∠MOD+∠DOB=180^o

   ⇔ 2∠COM+ 2∠MOD=180^o

   ^⇔  2(∠COM+ ∠MOD)=180^o

   ^⇔ ∠COM+ ∠MOD==90^o

Vì ∠COD=∠COM+ ∠MOD mà ∠COM+ ∠MOD=90^o nên ∠COD=90^o =>△COD là tam giác vuông⁽³⁾

Từ ⁽¹⁾,⁽²⁾ và⁽³⁾, suy ra:

Trong △COD,có:   CD=CM+MD =AC+BD

Vậy CD=AC+BD (đpcm)

b) Lấy I là trung điểm của CD (I ∈ CD) và kẻ OI

Ta có: △COD là tam giác vuông

 Và OI ứng với cạnh huyền CD=> IO=

=> IO=CI=ID ⁽¹⁾ 

Vì AC⊥AB⊥BD nên AC song song với BD

=> ACDB là hình thang vuông⁽¹⁾

Lại có: I là trung điểm của CD và O là trung điểm của AB

=>OI là đường trung bình của hình thang ACDB⁽²⁾

Từ (1) và (2),  suy ra: IO ⊥AB

=> AB là tiếp tuyến của đường tòn đường kính CD (đpcm)

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) Ta có:

`MC=AC` `(`tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại `C``)` `(1)`

`MD=BD` `(`tính chất hai tiếp tuyến cứt nhau tại `D``)` `(2)`

Cộng `(1)` và `(2)` vế theo vế ta được: `CD=AC+BD` `(đpcm)`

b) Ta có:

`OC` là tia phân giác của `\hat{AOM}` `(`tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau `C``)`

`OD` là tia phân giác của `\hat{BOM}` `(`tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau `D``)`

Mà `\hat{AOM}+\hat{BOM}=180^0` `(`kề bù`)`

`=>\hat{COD}=90^0` `(đpcm)`

c) Gọi `E` là trung điểm của `CD` `(E\inCD)`

`\triangleCOD` vuông tại `O` có `OE` là trung tuyến

`=>OE=EC=ED=1/2CD` `(`tính chất trung tuyến trong tam giác vuông`)`

Suy ra `E` là tâm của đường tròn đường kính `CD` `(3)`

Ta có:

`AC////BD` `(`cùng `\botAB``)`

`=>ABDC` là hình thang

Hình thang `ABDC` có `O` và `E` lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên `AB` và `CD` nên `OE` là đường trung bình của hình thang `ABDC`

`=>OE////AC////BD`

Mà `AC\botAB;BD\botAB` `(`tính chất tiếp tuyến`)`

`=>OE\botAB` `(4)`

Từ `(3)` và `(4)` ta suy được: `AB` là tiếp tuyến của đường tròn đường kính `CD` `(đpcm)`