Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Gọi C là điểm chính giữa của cung AB. Trên đoạn OC lấy điểm E (E khác O,C) tia AE cắt đường tròn (O) tại M. tiếp tuyến Tại M của đường tròn (O) cắt OC ở D . Gọi K là giao điểm của BM và OC

a. Chứng minh tứ giác OBME nội tiếp một đường tròn

b. Chứng minh tam giác MDE cân và BM.BK không phụ thuộc vào vị trí của điểm E

a)-Do C là điểm chính giữa cung AB nên ta có:

sđ AC= sđ BC =sđ AB/2 <=> góc AOC=gBOC=gAOB/2=180*/2=90*

  Do góc AMB là góc nội tiếp chắn cung AB nên gAMB=90* hay g EMB=90*

  -Xét tứ giác OBME có: gEOB=gEMB=90* nên tứ giác OBME nội tiếp một đg tr.

b)-Do MK là tiếp tuyến của (O) nên OM vuông với MK hay g OMK=90*=gOME+gEMK

    Mà gOME+gOMB=gEMB=90* (cmt) nên gEMK=gOMB hay gEMD=gOMB  (1)

   -Xét tam giác OBM ta có: OM=OB(= bán kính) => tam giác OBM cân tại O

=> gOMB=gOBM    (2)

  Từ (1) và (2) suy ra gEMD=gOBM   

  -tam giác AMB vuông tại M có: gABM+gBAM=90* hay gOBM+gOAE=90*  

  Mặt khác: gOAE+gOEA=90* ( tổng 2 góc nhọn trong 1 tam giác vg) 

=> gOEA=gOBM hay gOEA=gEMD

  mà gOEA=gDEM ( đối đỉnh) nên gEMD=gDEM => tam giác MDE cân

  - Xét tam giác AMB và tg KOB có: gABK chung

                                        gAMB=gKOB(=90*)

=>tg AMB đồng dạng với tg KOB (g.g)

=> AB/BK = BM/OB (cặp cạnh tương ứng)

=> BM.BK=AB.OB=2OB.OB=2.$OB^{2}$ 

Do OB không phụ thuộc vào vị trí của điểm E nên BM.BK không phụ thuộc vào vị trí của điểm E