Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có AB=2, AC=4, BC=5, AA’ =6. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ ABCA’B’C’

Đáp án:

$R = \dfrac{\sqrt{849849}}{231}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $O;\, O'$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp $ΔABC$ và $ΔA'B'C'$

Ta có:

$S_{ABC} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)} = \dfrac{\sqrt{231}}{4}$

$OA = \dfrac{AB.AC.BC}{4S_{ABC}} = \dfrac{2.4.5}{4\cdot\dfrac{\sqrt{231}}{4}} = \dfrac{40\sqrt{231}}{231}$

Gọi $M$ là trung điểm $AA'$

$\to AM = \dfrac12AA' = 3$

Trong $mp(AA'O'O)$ kẻ đường trung trực của $AA'$ cắt $OO'$ tại $I$

$\to I$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

Khi đó:

$R = \sqrt{OI^2 + OA^2} = \sqrt{AM^2 + OA^2}$ (Theo định lý Pytago)

$\to R = \sqrt{3^2 + \left(\dfrac{40}{\sqrt{231}}\right)^2} = \dfrac{\sqrt{849849}}{231}$