Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD là hình chữ nhật . AB = a , AD = a căn 3 . Hình chiếu vuông góc của điểm A1 trên mp ( ABCD ) trùng với giao điểm của AC và BD Góc giữa hai mặt phăng ( ADD1A1 ) và ( ABCD ) bằng 60 độ .Tính V

Đáp án:

$V_{ABCD.A_1B_1C_1D_1}=\dfrac{3a^3}{2}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$BD^2 = AB^2 + AD^2$

$\to BD =\sqrt{AB^2 + AD^2}=\sqrt{a^2 + 3a^2}=2a$

Gọi $AC\cap BD = \{O\}$

$\to OA = OB = OC = OD =\dfrac12BD = a$

$\to A_1O\perp (ACBD)$

Gọi $M$ là trung điểm $AD$

mà $O$ là trung điểm $BD$

nên $OM$ là đường trung bình của $∆ABD$

$\to OM =\dfrac12AB =\dfrac a2;\, OM//AB$

$\to OM\perp AD$

Ta lại có:

$A_1O\perp (ABCD)$

$A_1O:$ cạnh chung

$OA = OD$

$\to ∆A_1OA=∆A_1OD\ (c.g.c)$

$\to A_1A = A_1D$

$\to ∆A_1AD$ cân tại SA_1$

mà $M$ là trung điểm đáy $AD$

nên $A_1M\perp AD$

Khi đó:

$\begin{cases}(ADD_1A_1)\cap (ABCD)=AD\\OM\perp AD\qquad (cmt)\\OM\subset (ABCD)\\A_1M\perp AD\qquad (cmt)\\A_1M\subset (ADD_1A_1)\end{cases}$

$\to \widehat{((ADD_1A_1);(ABCD))}=\widehat{A_1MO}=60^\circ$

$\to A_1O=OM\tan60^\circ =\dfrac a2\cdot\sqrt2 =\dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta được:

$V_{ABCD.A_1B_1C_1D_1}=S_{ABCD}.A_1O = AB.AD.A_1O = a\cdot a\sqrt3\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}=\dfrac{3a^3}{2}$