Cho khối trụ có thiết diện qua trục OO′ là một hình vuông cạnh bằng 2. Mặt phẳng (P) qua trung điểm I của OO′và tạo với mặt phẳng chứa đáy góc 30o. Diện tích của thiết diện do (P) cắt khối trụ gần số nào sau đây nhất?

Đáp án:

$ S_{\text{thiết diện}}=\dfrac{2\pi}{\sqrt3}$

Giải thích các bước giải:

Do khối trụ có thiết diện qua trục $OO'$ là một hình vuông cạnh bằng 2 nên, chiều cao của khối trụ OO'=2 và đường kính 2 mặt đáy của khối trụ bằng 2.

Giao tuyến của mặt phẳng (P) với đáy (O') là đường thẳng d.

Qua O' dựng O'G vuông góc với d $\Rightarrow \widehat{((P),(O')}=(IG,O'G)=\widehat{IGO'}=30^o$

$\tan\widehat{IGO'}=\dfrac{OI}{O'G}$

$\Rightarrow O'G=\dfrac{1}{\tan{30^o}}=\sqrt3>$ bán kính của (O'), R=1

$\Rightarrow G$ nằm ngoài (O') suy ra thiết diện của (P) với lăng trụ là hình elip trục dài là 2a=AB, trục ngắn là 2b=CD như hình vẽ.

$\cos\widehat{ABH}=\dfrac{HB}{AB}\Rightarrow AB=\dfrac{2}{\cos30^o}=\dfrac4{\sqrt3}$

$\Rightarrow a=\dfrac2{\sqrt3}$

$2b=CD=d=2\Rightarrow b=1$

$\Rightarrow S_{\text{thiết diện}}=\pi ab=\dfrac{2\pi}{\sqrt3}$.