Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng ABCD, SA = 4, góc giữa SC và mặt phẳng SAD bằng 30 độ Tính thể tích V của khối chóp SABCD

Đáp án:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{32}{3}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$SA\perp (ABCD)\quad (gt)$

$\to SA\perp CD$

Ta lại có:

$CD\perp AD$ ($ABCD$ là hình vuông)

$\to CD\perp (SAD)$

$\to \widehat{(SC;(SAD))}=\widehat{CSD}=30^\circ$

$\to CD = SD.\tan30^\circ$

$\to CD^2 =\dfrac13 SD^2$

$\to CD^2 =\dfrac13(SA^2 + AD^2)$

$\to CD^2 =\dfrac13(4^2 + CD^2)$

$\to CD^2 = 8$

$\to V_{S.ABCD}=\dfrac13S_{ABCD}.SA = \dfrac13CD^2.SA = \dfrac{32}{3}$

Góc giữa SC và mặt phẳng SAD chính là góc CSD = 30 độ.

Gọi cạnh hình vuôn ABCD là $x$. Trong tam giác vuông SAD có: $SD^{2}$ = $4^{2}$ +$x^{2}$ (1)

Trong tam giác vuông SDC có: $SD$ = $\frac{tan SDC}{DC}$ = $\frac{{\sqrt[]{3} }{}}{3x}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\sqrt[]{4^{2} +x^{2}}$ = $\frac{{\sqrt[]{3} }{}}{3x}$. Từ đây bạn suy ra $x$ ≈ 0,144.

Suy ra diện tích ABCD là $x^{2}$ = 0,02.

Thể tích chóp là $\frac{1}{3}$ .$4$. $0,02$ = 0,03