cho hs y=f(x) xđ trên r và có đạo hàm f'(x)=(x-sinx).(x-m-3).(x- căn bặc 3 của (9-m2)) với mọi x thuộc r. có bn giá trị nguyên của m để hs f(x) đạt cực tiểu tại x=0.

ĐK: `-3<=m<=3`

$\bullet\quad$Trường hợp `1:`

`-3<=m<=3` có bảng biến thiên 

$\bullet\quad$Trường hợp `2:`

`0<m<3` có bẳng biến thiên

$\bullet\quad$Trường hợp `3:`

Nếu `x=3` thì  nghiệm `x=0` sẽ được bội `4`, không thõa mãn là điểm cực tri của hàm số.

Vậy, có `6` giá trị thõa mãn.

Đáp án: $3$ giá trị

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$f'(x)=(x-\sin x)(x-m-3)(x-\sqrt[3]{9-m^2})$

$\to f'(x)=0$

$\to (x-\sin x)(x-m-3)(x-\sqrt[3]{9-m^2})=0$

$\to x\in\{0, m+3, \sqrt[3]{9-m^2}\}$

Đặt $y=x-\sin x\to y'=1-\cos x\ge 0\to y$ đồng biến 

$\to x-\sin x=0$ có duy nhất $1$ nghiệm $x=0$ lẻ

Trường hợp $1: x=0$ là nghiệm bội lẻ 

$\to m+3=\sqrt[3]{9-m^2}=0\to m=-3$

$\to f'(x)=(x-\sin x)x^2$

$\to$Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (chọn)

Trường hợp $2: x=0$ là nghiệm đơn

$\to m+3\ne 0, \sqrt[3]{9-m^2}\ne 0\to m\ne \pm3$

$\to$Để hàm đạt cực tiểu tại $x=0$ với mọi $x\in R$

$\to f'(x)$ đổi dấu từ $-$ sang $+$ khi đi qua $0$

$\to (x-m-3)(x-\sqrt[3]{9-m^2})\ge 0\quad\forall x\in R$ 

$\to x^2-(m+3+\sqrt[3]{9-m^2})x+(m+3)\cdot \sqrt[3]{9-m^2}\ge 0\quad\forall x\in R$

$\to \Delta = (m+3+\sqrt[3]{9-m^2})^2-4\cdot (m+3)\cdot \sqrt[3]{9-m^2}\le 0$ vì $a=1>0$

$\to (m+3-\sqrt[3]{9-m^2})^2\le 0$

$\to (m+3-\sqrt[3]{9-m^2})^2=0$

$\to m+3=\sqrt[3]{9-m^2}$

$\to m\in\{-1,-3,-6\}$

$\to m\in\{-1,-6\}$ vì $m\ne \pm3$

Kết hợp cả $2$ trường hợp $\to m\in\{-1,-3,-6\}$