Cho hình nón đỉnh S có đáy là hình tròn tâm O. Một mặt phẳng đi qua đỉnh hình nón và cắt hình nón theo một thiết diện là tam giác vuông SAB có diện tích bằng 4a2. Góc giữa trục SO và mặt phẳng (SAB) bằng 30°. Diện tích xung quanh của hình nón đã cho bằng

Đáp án:

 $S_{xq}=2\pi a^2\sqrt{10}$

Giải thích các bước giải:

$\Delta SAB$ có $SA=SB$ đều là đường sinh nên $\Delta SAB\bot$ cân đỉnh S.

Gọi $I$ là trung điểm của $AB\Rightarrow SI\bot AB,SI=\dfrac{AB}2$

Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta SIO\bot O$

$\cos{\widehat{ISO}}=\dfrac{SO}{SI}\Rightarrow SI=\dfrac{SO}{\cos30^o}$

$\Rightarrow AB=\dfrac{2SO}{\cos30^o}$

$S_{SAB}=\dfrac12.SI.AB=\dfrac{SO^2}{\cos^2 30^o}=4a^2$

$\Rightarrow SO=a\sqrt3$

$\Rightarrow AI=\dfrac{AB}2=2a$

$\Delta SIO\bot O,\tan\widehat{ISO}=\dfrac{IO}{SO}$

$\Rightarrow IO=SO.\tan30^o=a$

$\Delta OAI\bot A:AO=\sqrt{AI^2+IO^2}=a\sqrt5$

$\Delta SOA\bot O:SA=\sqrt{SO^2+OA^2}=2a\sqrt2$

$\Rightarrow S_{xq}=\pi.OA.SA=\pi.a\sqrt5.2a\sqrt2=2\pi a^2\sqrt{10}$