Cho hình nón có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O bán kính bằng 2a và độ dài đường sinh bằng a√5. Mặt phẳng (P) qua đỉnh S cắt hình nón theo thiết diện là tam giác có chu vi bằng 2(1+√5)a. Tính khoảng cách d từ O đến mặt phẳng (P)

Đáp án:

(2 - √3)^x + (2- √3)^x = (√5)^x . Tìm x

Giải thích các bước giải:

Đáp án:

$d(O;(P))=\dfrac{3a}{2}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $A;\, B$ lần lượt là giao điểm của mặt phẳng $(P)$ và đường tròn đáy

$\to ∆SAB$ cân tại $S$

$\to SA = SB = a\sqrt5$

Ta có:

$P_{SAB}= SA + SB + AB = 2(1+\sqrt5)a$

$\to AB = 2(1+\sqrt5)a - 2a\sqrt5$

$\to AB = 2a$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\to MA = MB =\dfrac12AB = a$

$\to OM\perp AB$ (định lý đường kính - dây cung)

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$OA^2 = OM^2 + MA^2$

$\to OM =\sqrt{OA^2 - MA^2}$

$\to OM =\sqrt{4a^2 - a^2}= a\sqrt3$

Do $∆SAB$ cân tại $A$, $M$ là trung điểm cạnh đáy $AB$

nên $SM\perp AB$

Lại có: $SO\perp AB\quad (SO$ là chiều cao hình nón$)$

$\to AB\perp (SOM)$

Trong $mp(SOM)$ kẻ $OH\perp SM$

$\to AB\perp OH$

$\to OH\perp (SAB)$

$\to OH\perp (P)$

$\to OH = d(O;(P))$

Áp dụng hệ thức lượng vào $∆SOM$ vuông tại $O$ đường cao $OH$ ta được:

$\dfrac{1}{OH^2} =\dfrac{1}{OM^2} +\dfrac{1}{SO^2}$

$\to OH =\dfrac{OM.SO}{\sqrt{SO^2 + OM^2}}$

$\to OH=\dfrac{OM\sqrt{OA^2 + SA^2}}{\sqrt{OA^2 + SA^2 + OM^2}}$

$\to OH =\dfrac{a\sqrt3.\sqrt{4a^2 + 5a^2}}{\sqrt{4a^2 + 5a^2 + 3a^2}}$

$\to OH = \dfrac{3a}{2}$

Vậy $d(O;(P))=\dfrac{3a}{2}$