cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a.Góc giữa A'C và (AA'B'B) bằng 30.Gọi I là trung điểm AB.TÍnh khoảng cách giữa A'I và AC

Đáp án: $\dfrac{\sqrt{6}a}{6}$

Giải thích các bước giải:

Ta có $\Delta ABC$ đều $\to CI\perp AB$

Mà $ABC.A'B'C'$ là lăng trụ đứng $\to AA'\perp ABC\to AA'\perp CI$

$\to CI\perp A'B'BA$

$\to \widehat{CA'I}=30^o$

Ta có $CI=\dfrac{a\sqrt{3}}{2}$ 

$\to A'C=2CI=a\sqrt{3}, A'I=\dfrac32a$

$\to AA'=\sqrt{A'C^2-AC^2}=\sqrt{(a\sqrt{3})^2-a^2}=a\sqrt{2}$

$\to V_{A'ACI}=\dfrac13\cdot AA'\cdot \dfrac12S_{ABC}$

$\to V_{A'ACI}=\dfrac13 \cdot a\sqrt{2}\cdot  \dfrac12\cdot\dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$

$\to V_{A'ACI}=\dfrac{\sqrt{6}a^3}{24}$

Gọi khoảng cách giữa $A'I$ và $AC$ là $d$

$\to V_{A'ACI}=\dfrac16d\cdot A'I\cdot AC$

$\to \dfrac{\sqrt{6}a^3}{24}=\dfrac16d\cdot \dfrac32a\cdot a$

$\to d=\dfrac{\sqrt{6}a}{6}$