Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B . AB = a , AA’ = 2a , A’C = 3a. Gọi M là trung điểm A’C’ . I là giao AM và A’C . Tính theo a thể tích tứ diện IABC

Đáp án:

$V_{I.ABC}=\dfrac{4a^3}{9}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$+)\quad A'C^2 = AA'^2 + AC^2$

$\to AC^2 = A'C^2 - AA'^2$

$\to AC^2 = 9a^2 - 4a^2 = 5a^2$

$+)\quad AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\to BC =\sqrt{AC^2 - AB^2}=\sqrt{5a^2 - a^2}=2a$

$\to V_{ABC.A'B'C'}=S_{ABC}.AA' =\dfrac12AB.BC.AA'$

$\to V_{ABC.A'B'C'}=\dfrac12\cdot a\cdot 2a\cdot 2a = 2a^3$

Ta lại có:

$∆IMA'\sim ∆IAC\quad (AC//A'C')$

$\to \dfrac{MA'}{AC}=\dfrac{d(I;A'M)}{d(I;AC)}=\dfrac12$

$\to \dfrac{d(I;AC)}{d(M;AC)}=\dfrac23$

$\to \dfrac{d(I;(ABC))}{d(M;(ABC))}=\dfrac23$

$\to \dfrac{V_{I.ABC}}{V_{A.ABC}}=\dfrac23$

$\to \dfrac{V_{I.ABC}}{V_{ABC.A'B'C'}}=\dfrac29$

$\to V_{I.ABC}=\dfrac{4a^3}{9}$