Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60 độ . Đường chéo lớn của đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp?
2 câu trả lời
Đáp án:
$V= \dfrac{a^3\sqrt6}{2}$
Giải thích các bước giải:
Xét lặng trụ đứng $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy là hình thoi cạnh $a$, $\widehat{BAD} =60^\circ$
$\to ΔBAD;\, ΔBCD$ đều
Gọi $AC\cap BD=\{O\}$
$\to \begin{cases}AC = 2AO = AB\sqrt3 = a\sqrt3\\BD = AB = AD = BC = CD = a\end{cases}$
$\to S_{ABCD} = 2S_{ABD} = 2\cdot\dfrac{AB^2\sqrt3}{4} = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}$
Do $AC = a\sqrt3 > BD = a$
$\to AC$ là đường chéo lớn của đáy $ABCD$
$\to BD'$ là đường chéo nhỏ của lăng trụ
$\to AC = BD' = a\sqrt3$
Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:
$BD'^2 = BD^2 + DD'^2$
$\to DD' = \sqrt{BD'^2 -BD^2} = \sqrt{3a^2 + a^2} = a\sqrt2$
Do đó:
$V = S_{ABCD}.DD' = \dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot a\sqrt2= \dfrac{a^3\sqrt6}{2}$
`text{Gọi}` `AC cap BD = {O}`
`text{Ta có}`
`ABCD` `text{là hình thoi cạnh a}`
`hat{BAD} = 60^0`
`-> ΔABD` `text{đều}`
`-> AB = AD = BD = a`
`-> DO = OB = a/2`
`text{Xét ΔAOB vuông tại O có}`
`AB^2 = AO^2 + OB^2` `(text{Định lí Pythagoras})`
`-> AO = sqrt{AB^2 - OB^2} = sqrt{a^2 - (a/2)^2} = (a\sqrt{3})/2`
`-> AC = 2AO = asqrt{3}`
`text{Theo giả thuyết}`
`-> AC = BD' = asqrt{3}`
`text{Xét ΔBDD' vuông tại D có}`
`BD'^2 = BD^2 + DD'^2` `(text{Định lý Pythagoras})`
`-> DD' = sqrt{BD'^2 - BD^2} = sqrt{(a\sqrt{3})^2 - a^2} = asqrt{2}`
`-> V = S_{ABCD}.DD' = 1/(2).a.asqrt{3}.asqrt{2} = (a^{3}\sqrt{6})/2`
Câu hỏi trong lớp
Xem thêm
