cho hình chữ nhật có AB=2AD .gọi E là điểm bất kf trên cạnh BC .Gọi F là giao điểm của đường thẳng AE và DC .QUa A vẽ đường thẳng vuông góc với AE cắt CD tại M .a) chứng minh rằng 4/AB^2 =4/AE^2 +1/AF^2 ...b) Kẻ DNvuô ng góc với AM ( điểm N thuộc AM .Đặt góc AMD=a .chứng minh MN= MF .co s ^3 a

a) Gọi $N'$ là trung điểm của $AB$

$I$ là trung điểm của $AE$

$\Rightarrow N'I\parallel=\dfrac{1}{2}BE$

$BE\bot AB$

$\Rightarrow N'I\bot AB$

$\Rightarrow\Delta AN'I\bot N'$

Xét $\Delta$ vuông $ADM$ và $\Delta$ vuông $AN'I$ có:

$\widehat{A_1}=\widehat{A_3}$ (cùng phụ với $\widehat{A_2}$)

$AD=AN'$ ($=\dfrac{1}{2}AB$)

$\Rightarrow \Delta$ vuông $ADM=\Delta$ vuông $AN'I$ (cgv.gn)

$\Rightarrow AI=AM=\dfrac{1}{2}AE$

Ta có: $\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{AF^2}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{(\dfrac{AB}{2})^2}=\dfrac{1}{(\dfrac{AE}{2})^2}+\dfrac{1}{AF^2}$

$\Rightarrow \dfrac{4}{AB^2}=\dfrac{4}{AE^2}+\dfrac{1}{AF^2}$

b) $\Delta$ vuông $ADM$ có:

$MD^2=MN.MA$

$\Rightarrow MN=\dfrac{MD^2}{MA}$

$=\dfrac{MD^3}{MA^3}.\dfrac{MA^2}{MD}$ (1)

Mà $\Delta AMF$: $AM^2=MD.MF\Rightarrow \dfrac{AM^2}{MD}=MF$

$\Delta$ vuông $AMD$ có $\cos a=\dfrac{MD}{MA}$

Thay vào (1) suy ra $MN={\cos}^3a.MF$ (đpcm)