Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có AB=a, SA=a√2. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, CD. Tính thể tích AMNP

Giải

Ta có : MN//CD ; SP ⊥ CD => MN ⊥ SP

Gọi O là tâm đáy ABCD

Ta có : SO= √(SA ² - OA ²)= a6 / 2

$V_{AMNP}$ =$\frac{1}{4}$$V_{ABSP}$= $\frac{1}{8}$ $V_{S.ABCD}$

=$\frac{1}{8}$. $\frac{1}{3}$ SO.AB$^{2}$= $\frac{a^{3}√6 }{48}$

Đáp án:

$V_{AMNP}=\dfrac{a^3\sqrt6}{48}$

Lời giải:

Do $MN$ là đường trung bình $\Delta SAB$

$\Rightarrow MN\parallel CD(\parallel AB)$

Mà $SP\bot CD$

$\Rightarrow SP\bot MN$

$OA=\dfrac{AC}{2}=\dfrac{a^2+a^2}{2}=\dfrac{a}{\sqrt2}$

$SO^2=SA^2-OA^2=2a^2-(\dfrac{a}{\sqrt2})^2=\dfrac{\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow SO=\dfrac{\sqrt6a}{2}$

$V_{AMNP}=\dfrac{1}{4}V_{ABSP}=\dfrac{1}{8}V_{S.ABCD}$

=$\dfrac{1}{8}.\dfrac{1}{3}SO.AB^2$

$=\dfrac{1}{24}\dfrac{\sqrt6a}{2}.a^2$

$=\dfrac{a^3\sqrt6}{48}$