Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có AB= a, SA= a căn 2 . Gọi M , N , P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA , SB và CD . Tính thể tích V của tứ diện AMNP

Đáp án: $V_{AMNP}=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{48}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$M,N$ là trung điểm $SA,SB\to MN$ là đường trung bình $\Delta SAB$

$\to MN//AB, MN=\dfrac12AB$

$\to MN//CP, MN=CP$ vì $P$ là trung điểm $CD$

$\to MNCP$ là hình bình hành

$\to V_{AMNP}=V_{AMCP} =\dfrac12V_{AMCD}$

$\to V_{AMNP}=\dfrac14V_{SADC}$

$\to V_{AMNP}=\dfrac18V_{SABCD}$

Gọi $AC\cap BD=O\to SO\perp ABCD$ vì $SABCD$ là hình chóp tứ giác đều

Mà $OA=OB=OC=OD=\dfrac{AB\sqrt{2}}{2}=\dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$\to SO=\sqrt{SA^2-AO^2}=\sqrt{(a\sqrt{2})^2-(\dfrac{a\sqrt{2}}{2})^2}=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

$\to V_{SABCD}=\dfrac13\cdot SO\cdot S_{ACBD}

$\to V_{SABCD}=\dfrac13\cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{2}\cdot a^2$

$\to V_{SABCD}=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$

$\to V_{AMNP}=\dfrac{a^3\sqrt{6}}{48}$