Cho hình chóp tam giác đều .S ABC có cạnh đáy bằng 3 và cạnh bên bằng x, với 1.xGọi Vlà thể tích khối cầu xác định bởi mặt cầu ngoại tiếp hình chóp .S ABC. Giá trị nhỏ nhất của V thuộc khoảng nào sau đây?

Đáp án+Giải thích các bước giải:

Gọi `O` là hình chiếu của `S` lên `(ABC)`

`=>SO⊥(ABC)`

Do `S.ABC` là hình chóp đều có cạnh là `3`

`=>AM=(3sqrt3)/2`

`=>OA=2/3 . AM=2/3 . (3sqrt3)/2=sqrt3`

Gọi `I` là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp `S.ABC`

nên `I in SO`

Xét `DeltaSOA` vuông tại `O` có:

`SO=sqrt(SA^2-OA^2)=sqrt(x^2-3)`

Đặt `SI=k=>OI=SO-SI=sqrt(x^2-3)-k`

`=>AI=sqrt(OI^2+OA^2)=sqrt((sqrt(x^2-3)-k)^2+3`

Lại có: `R=SI=AI=k`

`=>k=sqrt((sqrt(x^2-3)-k)^2-3`

`<=>k^2=x^2-3-2ksqrt(x^2-3)+k^2+3`

`<=>x^2-2ksqrt(x^2-3)=0`

`<=>k=x^2/(2sqrt(x^2-3))`

Để `V_min<=>R_min<=>x^2/(2sqrt(x^2-3))` `min`

Xét hàm số `y=x^2/(2sqrt(x^2-3))` ta có:

`y'=(2x . 2sqrt(x^2-3)-x^2. (2x)/(sqrt(x^2-3)))/[4(x^2-3)]`

`=( 4xsqrt(x^2-3)- (2x^3)/(sqrt(x^2-3)))/[4(x^2-3)]`

`=( 4x(x^2-3)- 2x^3)/[(4x^2-12)(sqrt(x^2-3))]`

`=(4x^3-12x-2x^3)/[(4x^2-12)(sqrt(x^2-3))]`

`=(2x^3-12x)/[(4x^2-12)(sqrt(x^2-3))]`

`y'=0<=>2x^3-12x=0`

`<=>x=sqrt6` `(do ` `x>1)`

`=>y_min=y(sqrt6)=sqrt3=R`

`=>V_min=4/3 pi R^3=4pisqrt3`