cho hình chóp S.ABCD tâm O, có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh SA vuông góc với đáy, cạnh SC tạo với mặt phẳng đáy 1 góc 45 độ. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và khoảng cách từ O đến (SBC) [ai biết giúp mk va ạ]

Đáp án:

$V_{S.ABCD} =  \dfrac{2a^3\sqrt5}{3}$

$d(O;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt{30}}{12}$

Giải thích các bước giải:

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$\Rightarrow AC =\sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{a^2 + 4a^2} = a\sqrt5$

Ta có:

$SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCA} = 45^o$

$\Rightarrow SA = AC.\tan45^o = a\sqrt5$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SA = \dfrac13AB.AD.SA = \dfrac13.a.2a.a\sqrt5 = \dfrac{2a^3\sqrt5}{3}$

Ta có:

$SA\perp (ABCD)$

$\Rightarrow SA\perp BC$

mà $BC\perp AB$

$\Rightarrow BC\perp (SAB)$

Từ $A$ kẻ $AK\perp SB$

$AK\subset (SAB)$

$\Rightarrow BC\perp AK$

$\Rightarrow AK\perp (SBC)$

$\Rightarrow AK = d(A;(SBC))$

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được:

$\dfrac{1}{AK^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2}$

$\Rightarrow AK = \dfrac{SA.AB}{\sqrt{SA^2 + AB^2}} = \dfrac{a\sqrt5.a}{\sqrt{5a^2 + a^2}} = \dfrac{a\sqrt{30}}{6}$

Ta có:

$AC\cap BD = \left\{O\right\}$

$\Rightarrow OA = OC$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow MA = MB$

$\Rightarrow OM//BC$ (đường trung bình)

$\Rightarrow OM//(SBC)$

$\Rightarrow d(O;(SBC)) = d(M;(SBC))$

Từ $M$ kẻ $MH\perp SB$

$\Rightarrow MH//AK$

$\Rightarrow MH\perp (SBC)$

$\Rightarrow MH = d(M;(SBC)) = d(O:(SBC))$

Do $M$ là trung điểm $AB$

nên $MH = \dfrac{1}{2}AK = \dfrac{a\sqrt{30}}{12}$

Vậy $d(O;(SBC)) = \dfrac{a\sqrt{30}}{12}$