cho hình chóp sabcd đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên sa vuông góc với mặt phẳng (abcd) . khoảng cách từ a đến scd bằng a/2.Tính thể tích khối chóp sabcd

Kẻ $AH\perp SD$

Ta có:

$SA\perp (ABCD)$ $(gt)$

$\Rightarrow SA\perp CD$

mà $AD\perp CD$ ($ABCD$ là hình vuông)

nên $CD\perp (SAD)$

$\Rightarrow CD\perp AH$

mà $AH\perp SD$ (cách dựng)

nên $AH\perp (SCD)$

$\Rightarrow AH$ là khoảng cách từ $A$ đến $(SCD)$

$\Rightarrow AH = \dfrac{a}{2}$

Áp dụng hệ thức lượng trong $∆SAD$ vuông tại $A$ ta được:

$\dfrac{1}{AH^{2}} = \dfrac{1}{SA^{2}} + \dfrac{1}{AD^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{SA^{2}} = \dfrac{1}{AH^{2}} - \dfrac{1}{AD^{2}}$

$\Rightarrow SA^{2} = \dfrac{(AH.AD)^{2}}{AD^{2} - AH^{2}} = \dfrac{(a.\dfrac{a}{2})^{2}}{a^{2} - (\dfrac{a}{2})^{2}} = \dfrac{a^{2}}{3}$

$\Rightarrow SA = \sqrt{\dfrac{a^{2}}{3}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$

Thể tích hình chóp:

$V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}.S_{ABCD}.SA = \dfrac{1}{3}.a^{2}.\dfrac{a\sqrt{3}}{3} = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{9}$ $(đvtt)$