cho hình chóp SABCD , đáy là hình thoi tâm O cạnh a , góc BAD= 60 độ, SO vuông góc với đáy , (SB,(ABCD))= 60 độ . Tính V hình chóp và d(AD,SC)

$\widehat{BAD}= 60^\circ$

$\Rightarrow \triangle BAD;\ \triangle BCD$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow \begin{cases}S_{ABCD}=2S_{ABD}=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}\\OA = OC =\dfrac{a\sqrt3}{2}\\OB = OD =\dfrac a2\end{cases}$

Ta có:

$SO\perp (ABCD)$

$\Rightarrow \widehat{(SO;(ABCD))}=\widehat{SBO}= 60^\circ$

$\Rightarrow SO = OB.\tan60^\circ = \dfrac{a\sqrt3}{2}$

Ta được:

$V_{S.ABCD}=\dfrac13S_{ABCD}.SO =\dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{2}\cdot \dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3}{4}$

Ta có: $SO, OB, OC$ đôi một vuông góc tại $O$

Do đó:

$\quad\dfrac{1}{d^2(O;(SBC))}=\dfrac{1}{SO^2} + \dfrac{1}{OB^2} + \dfrac{1}{OC^2}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{d^2(O;(SBC))}=\dfrac{4}{3a^2} + \dfrac{4}{a^2} + \dfrac{4}{3a^2}= \dfrac{20}{3a^2}$

$\Rightarrow d(O;(SBC))= \dfrac{a\sqrt{15}}{10}$

Do $OA = OC =\dfrac12AC$

nên $d(A;(SBC))= 2d(O;(SBC))= \dfrac{a\sqrt{15}}{5}$

Ta có: $AD//BC$

$\Rightarrow AD//(SBC)$

$\Rightarrow d(AD;SC)= d(AD;(SBC))= d(A;(SBC))=\dfrac{a\sqrt{15}}{5}$