Cho hình chóp SABCD , đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a . Hai mặt phẳng (SAB) , (SAD) cùng vuông góc với đáy , góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 30° . Tính tỉ số 3V/a^3 biết V là thể tích của khối chóp SABCD. GIÚP MÌNH VỚI ♥️♥️♥️

Đáp án:

$ \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$

Lời giải:

Ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}(SAD)\perp(ABCD)\\(SAB)\perp(ABCD)\\(SAB)∩(SAD)=SA\end{array} \right.\) $\Rightarrow SA\perp(ABCD)$

⇒ $SA\perp CB$

mà $CB\perp AB$

nên $CB\perp (SAB)$

⇒ $CB\perp SB$

Ta lại có:

\(\left\{ \begin{array}{l}(SBC)∩(ABCD)=CB\\SB ⊂ (SBC)\text{ và }SB\perp CB\\AB ⊂ (ABCD)\text{ và } AB\perp CB\end{array} \right.\) 

⇒ $\widehat{SBA}$ là góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$

⇒ $\widehat{SBA} = 30^o$

Xét $ΔSAB$ vuông tại $A$

có: $SA = AB.\tan30^o = 2a.\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

⇒ $V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}.S_{ABCD}.SA = \dfrac{1}{3}.(2a)^{2}.2a\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \dfrac{8a^{3}\sqrt{3}}{9}$

⇒ $\dfrac{3V}{a^{3}} = \dfrac{3}{a^{3}}.\dfrac{8a^{3}\sqrt{3}}{9} = \dfrac{8\sqrt{3}}{3}$