Cho hình chóp S.ABCD có ( SAB ) vuông góc ( ABCD ) Tam giác SAB cân tại S . Đáy là hình vuông với AB = a cho góc giữa SD và đáy bằng 60 . Tính V S. ABCD

Đáp án:

$V_{S.ABCD}=\dfrac{a^3\sqrt{15}}{6}$

Giải thích các bước giải:

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\to HA = HB =\dfrac12AB = \dfrac{a}{2}$

$∆SAB$ cân tại $S$

$\to SH\perp AB$

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABCD)\\(SAB)\cap (ABCD)=AB\\SH\perp AB\\SH\subset (SAB)\end{cases}$

$\to SH\perp (ABCD)$

$\to \widehat{(SD;(ABCD))}=\widehat{SDH}=60^o$

$\to SH = HD.\tan60^o$

Áp dụng định lý Pytago ta được:

$HD^2 = AD^2 + HA^2 = a^2 +\dfrac{a^2}{4} = \dfrac{5a^2}{4}$

$\to HD =\dfrac{a\sqrt5}{2}$

$\to SH =\dfrac{a\sqrt5}{2}.\tan60^o =\dfrac{a\sqrt{15}}{2}$

Ta được:

$V_{S.ABCD}=\dfrac13S_{ABCD}.SH =\dfrac13\cdot a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{2}=\dfrac{a^3\sqrt{15}}{6}$