Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác ABC vuông cân tại A, SB=12 , SB vuông góc (ABC) . D,E lần lượt là các điểm thuộc SA, SC sao cho SD= 2DA, ÉS= EC. Biết DE= 2 căn 3. Tính thể tích khối chóp B.ACED

Đáp án:

$V_{B.ACED}= \dfrac{192}{5}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$\dfrac{V_{BED}}{V_{S.ABC}}=\dfrac{SB}{SB}\cdot\dfrac{SD}{SA}\cdot\dfrac{SE}{SC}$

$\to \dfrac{V_{BED}}{V_{S.ABC}}=1\cdot\dfrac23\cdot\dfrac12 =\dfrac13$

$\to V_{BED}=\dfrac13V_{S.ABC}$

$\to V_{B.ACED}=\dfrac23V_{S.ABC}$

$\to V_{B.ACED}=\dfrac23\cdot \dfrac13\cdot\dfrac{AB^2}{2}\cdot SB$

$\to V_{B.ACED}= \dfrac43AB^2$

Gọi $F$ là trung điểm $SA$

$\to EF$ là đường trung bình của $∆SAC$

$\to EF=\dfrac12AC =\dfrac12AB;\, EF//AC$

Ta có:

$SB\perp (ABC)$

$\to SB\perp AC$

mà $AC\perp AB$

nên $AC\perp (SAB)$

$\to AC\perp SA$

$\to EF\perp SA$

$\to ∆DEF$ vuông tại $F$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ vào $∆DEF$ vuông tại $F$ ta được:

$DE^2 = EF^2 + DF^2$

$\to DE^2 = \dfrac{AC^2}{4} +(AF - AD)^2$

$\to DE^2  = \dfrac{AB^2}{4} +\left(\dfrac12SA - \dfrac13SA\right)^2$

$\to DE^2 = \dfrac{AB^2}{4} +\dfrac{SA^2}{36}$

$\to DE^2 = \dfrac{AB^2}{4} +\dfrac{AB^2 + SB^2}{36}$

$\to DE^2 = \dfrac{5}{18}AB^2 + \dfrac{SB^2}{36}$

$\to 12= \dfrac{5}{18}AB^2 +\dfrac{12^2}{36}$

$\to AB^2 = \dfrac{144}{5}$

Ta được:

$V_{B.ACED}= \dfrac43AB^2=\dfrac43\cdot\dfrac{144}{5}=\dfrac{192}{5}$