Cho hình chóp SABCD có đáy là hcn có AB=2AD=2a, SA vuông góc đáy, (SC;(ABCD))=60 độ a, Tính VsABCD b, M là tđ SB. Tính VsACDM c, Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD

a) Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$AC^2 = AD^2 + DC^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2$

$\to AC = a\sqrt5$

Ta có:

$SA\perp (ABCD)$

$\to \widehat{(SC;(ABCD))} = \widehat{SCA} = 60^\circ$

$\to SA = AC.\tan60^\circ = a\sqrt5\cdot\sqrt3 = a\sqrt{15}$

Ta được:

$V_{S.ABCD} = \dfrac13S_{ABCD}.SA = \dfrac13\cdot a\cdot 2a\cdot a\sqrt{15} = \dfrac{2a^3\sqrt{15}}{3}$

b) Gọi $N$ là trung điểm $AB$

$\to MN$ là đường trung bình của $ΔSAB$

$\to MN//SA;\, MN = \dfrac12SA$

$\to MN = d(M;(ABCD)) = d(M;(ACD))$

Ta được:

$V_{M.ACD} = \dfrac13S_{ACD}.MN = \dfrac13\cdot\dfrac12S_{ABCD}\cdot\dfrac12SA$

$\to V_{M.ACD} = \dfrac14\cdot\left(\dfrac13S_{ABCD}.SA\right) = \dfrac14V_{S.ABCD}$

$\to V_{M.ACD} = \dfrac14\cdot\dfrac{2a^3\sqrt{15}}{3}=\dfrac{a^3\sqrt{15}}{6}$

c) Ta có:

$ABCD$ là hình chữ nhật

$SA\perp (ABCD)$

$\to$ Tâm $I$ của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là trung điểm $SC$

Áp dụng định lý $Pythagoras$ ta được:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = 15a^2 + 5a^2 = 20a^2$

$\to SC = 2a\sqrt5$

$\to R = \dfrac12SC = a\sqrt5$