Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD bằng 3a/2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Đáp án: $\dfrac43a^3$

Giải thích các bước giải:

Gọi $AC\cap BD=I$

Qua $I$ kẻ đường thẳng $d$ vuông góc với $ABCD$

Gọi $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $SABCD\to O\in (d)$

Kẻ $OE\perp SA=E$

Ta có $SA\perp ABCD\to SA\perp AC, OI\perp AC$

$\to OEAI$ là hình chữ nhật

Vì $O$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp $SABCD$

$\to OA=OS$

$\to OA^2=OS^2$

$\to AI^2+IO^2=SE^2+OE^2$

$\to AI^2+AE^2=(SA-AE)^2+AI^2$

$\to AE^2=(SA-AE)^2$

$\to AE=SA-AE$

$\to SA=2AE$

$\to E$ là trung điểm $SA$

$\to SE=EA=\dfrac12SA$

Mà $OA=\dfrac32a$

      $ABCD$ là hình vuông tâm $I\to IA=IC=\dfrac12AC=\dfrac12\cdot AB\sqrt{2}=\dfrac12\cdot 2a\sqrt{2}=a\sqrt{2}$

$\to OA^2=OE^2+EA^2$

$\to (\dfrac32a)^2=(a\sqrt{2})^2+(\dfrac12SA)^2$

$\to SA=a$

$\to V_{SABCD}=\dfrac13\cdot SA\cdot S_{ABCD}$

$\to V_{SABCD}=\dfrac13\cdot a\cdot (2a)^2$

$\to V_{SABCD}=\dfrac43a^3$