Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc BAD = 120°. Tính thể tích khối chóp S.ABC biết góc giữa hai mặt phẳng (ABC), (SBC) bằng 45° và tam giác SAB vuông cân tại A.

Đáp án:

$V_{S.ABC}=\dfrac{a^3\sqrt6}{48}$

Giải thích các bước giải:

$ABCD$ là hình thoi cạnh $a$

$\to AC$ là phân giác của $\widehat{BAD}$

$\to \widehat{BAC}=60^\circ$

$\to ∆BAC$ đều cạnh $a$

$\to S_{ABC}=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Gọi $M$ là trung điểm $AB$

$\to CM\perp AB$

Lại có:

$∆SAB$ vuông cân tại $S$

$\to SM\perp AB;\, SM =\dfrac12AB =\dfrac a2$

Ta có:

$\begin{cases}(SAB)\cap (ABC)=AB\\SM\perp AB\\SM\subset (SAB)\\CM\perp AB\\CM\subset (ABC)\end{cases}$

$\to \widehat{((SAB);(ABC))}=\widehat{SMC}=45^\circ$

Trong $mp(SMC)$ kẻ $SH\perp CM$

$\to SH\perp (ABC);\, SH =\dfrac{SM}{\sqrt2}=\dfrac{a\sqrt2}{4}$

Ta được:

$V_{S.ABC}=\dfrac13S_{ABC}.SH =\dfrac13\cdot \dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot \dfrac{a\sqrt2}{4}$

$\to V_{S.ABC}=\dfrac{a^3\sqrt6}{48}$