Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc b bằng 120 đô. Mặt phẳng SAC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC

$\Delta SAC$ đều gọi $O$ là trung điểm của $AC$

$\Rightarrow SO\bot AC$

$\Rightarrow SO\bot(ABCD)$

Hình thoi $ABCD$ có $\widehat {ABC}=120^o$

$\widehat {ABD}=\widehat{DBC}=60^o$

$\Rightarrow \Delta ABD$ và $\Delta BDC$ là tam giác đều

$\Rightarrow BD=AB=a$

Hai đường chéo của hình thoi vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow BD\bot AC$

Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ABO$ ta có:

$AO=\sqrt{AB^2-BO^2}=\sqrt{a^2-(\dfrac{a}{2})^2}=\dfrac{a\sqrt3}{2}$

$\Rightarrow AC=2AO=2\dfrac{a\sqrt3}{2}=a\sqrt3$

$\Rightarrow S_{ABCD}=\dfrac{DB.AC}{2}=\dfrac{a.a\sqrt3}{2}=\dfrac{a^2\sqrt3}{2}$

$\Delta SAC$ đều $\Rightarrow \widehat {SAC}=60^o$

$\Rightarrow \widehat{SAO}=\widehat {SAC}=60^o$

Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông $SAO$ ta có:

$\tan \widehat{SAO}=\dfrac{SO}{AO}$

$\Rightarrow SO=AO\tan {SAO}=\dfrac{a\sqrt3}{2}.\tan 60^o=\dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow V_{SABCD}=\dfrac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3}{2}.\dfrac{a^2\sqrt3}{2}=\dfrac{a^3\sqrt3}{4}$.