cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thoi các cạnh bằng a và góc ABC = 60* SA vuông (ABCD) , SA =2a . tính thể tích của a)SABCD b)MABCD (M là trung điểm SB) c) MNSA ( N là trug điểm CD ) d) SCMN e)MNDA

Đáp án:

a) $V_{SABCD}=\dfrac{a^3}{\sqrt3}$

Giải thích các bước giải:

a) Vì tứ giác $ABCD$ là hình thoi nên $AB=BC=a$ mà $\widehat{ ABC}=60 ^o$ nên $\Delta ABC$ là tam giác đều cạnh $a$

$⇒ S_{ABC} =\dfrac12a.a.\sin60^o=\dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

$⇒ S_{ABCD}=2S_{ABC}=\dfrac{a^{2}\sqrt3}{2}$

$⇒ V_{S.ABCD}= \dfrac{1}{3}.SA.S_{ABCD} =\dfrac{1}{3}.2a.\dfrac{a^{2}\sqrt3}{2} $

$=\dfrac{a^{3}}{\sqrt3}$.

a) $V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SA$

$S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}AC.BD$

$ΔABC$ đều ⇒ $AB = AC = BC = a; \, BD = 2BO = a\sqrt{3}$ (Với $O$ là giao điểm 2 đường chéo $AC, BD$)

⇒ $S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}$

⇒ $V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}.2a = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{3} \, (đvtt)$

b) Kẻ $MI\perp AB \, (I \in AB)$

⇒ $MI//SA$

mà $SA\perp (ABCD)$

nên $MI\perp (ABCD)$

⇒ $V_{M.ABCD} = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.MI = \dfrac{1}{3}\dfrac{1}{2}a.a\sqrt{3}.a = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{6} \, (đvtt)$

c) Ta có: $CI\perp AB$

⇒ $NA\perp AB$

mà $NA \perp SA \, (SA\perp (ABCD))$

⇒ $NA\perp (SAB)$

Kẻ $MK\perp SA \, (K \in SA)$

⇒ $NA\perp MK$

⇒ $MK\perp (SAN)$

⇒ $V_{M.NSA} = \dfrac{1}{3}S_{SAN}.MK = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.SA.AN.MK = \dfrac{1}{6}.2a.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2} = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{12} \, (đvtt)$

e) Ta có $MI\perp (ABCD)$ (câu b)

⇒ $MI\perp (ADN)$

⇒ $V_{M.NDA} = \dfrac{1}{3}S_{DAN}.MI = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.AN.DN.MI = \dfrac{1}{6}.\dfrac{a\sqrt{3}}{2}.\dfrac{a}{2}.a = \dfrac{a^{3}\sqrt{3}}{24} \, (đvtt)$